第 212 章 黄金三角形
在经历了对顶角 120 度的等腰三角形的深入学习后，学子们满怀期待地迎来了新的一课。
戴浩文走进学堂，目光中透着神秘与兴奋，他清了清嗓子说道：“同学们，今日我们要探讨一种奇妙的三角形——顶角为 36 度的等腰三角形，它还有一个美妙的名字，叫做黄金三角形。”
李华好奇地问道：“先生，为何称之为黄金三角形？难道它藏着什么珍贵的秘密？”
戴浩文微笑着回答：“李华问得好。这黄金三角形啊，其腰与底边的比例有着独特的魅力。我们先来研究一下它的一些基本性质。”
戴浩文转身在黑板上画出一个顶角为 36 度的等腰三角形，“假设等腰三角形的顶角为 36 度，两腰为 a，底边为 b。”
王强举手说：“先生，那我们是不是也要像之前那样作垂线来帮助求解？”
戴浩文点头道：“王强思路敏捷。我们作一条角平分线，将底角平分。”说着，他在三角形中画出这条线。
“现在，我们得到了两个新的三角形。”戴浩文指着图形，“同学们观察一下，这两个新的三角形有什么特点？”
赵婷仔细看了看，说道：“先生，这两个三角形好像也是等腰三角形。”
戴浩文夸赞道：“赵婷观察得很仔细。其中一个是等腰三角形，而且它与原来的大三角形相似。”
张明疑惑地问：“先生，那这对我们探究腰和底边的关系有什么帮助呢？”
戴浩文解释道：“我们设腰与底边的比值为 k，即 a \/ b = k 。由于相似三角形的对应边成比例，我们可以得到一个等式。”
戴浩文在黑板上写下推导过程：
“接下来，我们对上式两边同时除以 b2。”戴浩文边说边写，
“令 ，则上式变为 ，解这个方程， 。”
戴浩文看着学子们，“因为比值为正数，所以 ，这个值就是着名的黄金分割比。”
学子们纷纷露出惊叹的表情。
王强说道：“先生，那这个黄金分割比与三角函数又有什么关系呢？”
戴浩文回答道：“这就涉及到我们今天要探讨的重点了，即腰与底边的正切值（tan）。”
他在黑板上继续写道：“我们先求出底角的度数，底角为 (180 - 36) ÷ 2 = 72 度。”
“现在，我们来计算底角的正切值，tan72 度。”戴浩文说，“tan72 度 = tan(36 + 36) 度。”
“根据三角函数的两角和公式，tan(a + b) = 。”
戴浩文边写边解释：
李华忍不住说：“先生，这可怎么计算啊？”
戴浩文笑了笑：“莫急，我们设 tan36 度 = x ，则上式变为 。”
“而 tan72 度 = ，所以 。”
学子们纷纷动笔开始计算。
赵婷皱着眉头说：“先生，这个方程不太好解。”
戴浩文说道：“大家可以先将方程整理一下，变成一个二次方程。”
经过一番计算和整理，得到 ，即 。
解这个方程，可得 。
戴浩文说道：“所以，顶角为 36 度的等腰三角形，腰与底边的正切值（tan）为 。”
学子们听得入神，纷纷感叹数学的奇妙。
戴浩文又道：“那我们来做几道练习题巩固一下。”
他在黑板上写下题目：“已知一个顶角为 36 度的等腰三角形，腰长为 6，求底边的长度。”
学子们立刻埋头计算。
张明很快算出答案：“先生，底边约为 9.7。”
戴浩文点头：“不错。那再看这道题，如果底边为 8，求腰长。”
大家又陷入了思考。
王强算出结果：“先生，腰长约为 5.8。”
戴浩文满意地说：“很好。那我们再深入一些，如果在这个黄金三角形中，作一条平行于底边的线段，且线段把三角形分成面积相等的两部分，求这条线段的长度。”
这个问题让学子们思考了许久。
李华说：“先生，是不是要用到相似三角形的面积比？”
戴浩文鼓励道：“李华的思路是对的，大家继续想想。”
经过一番讨论和计算，终于得出了答案。
时间过得飞快，一堂课即将结束。
戴浩文总结道：“今天我们探索了黄金三角形的奥秘，大家课后要多加思考和练习。”
课后，学子们仍在热烈地讨论着课堂上的内容。
李华对赵婷说：“这黄金三角形真是太有趣了，我回家还要再研究研究。”
赵婷点头道：“是啊，感觉还有很多东西值得深挖。”
几天后的课堂上，戴浩文进行了一次小测验。
题目涵盖了黄金三角形的性质、正切值的计算以及相关的应用问题。
学子们认真作答，都希望能展现出自己对这一知识的掌握。
测验结束后，戴浩文快速批改了试卷。
在接下来的课堂上，戴浩文对测验情况进行了分析和讲解。
“大部分同学都掌握得不错，但还是有一些同学在计算正切值和应用问题上出现了错误。”戴浩文说道。
他针对典型错误进行了详细的讲解，确保学子们能够彻底理解。
随着学习的深入，戴浩文又给学子们提出了更具挑战性的问题。
“如果在一个黄金三角形中，已知一个角的正弦值，如何求出其他角的三角函数值？”
学子们又开始了新的思考和探索之旅。
在不断的学习和交流中，学子们对黄金三角形的理解越来越深刻，数学思维也得到了进一步的提升。
一次，学校组织数学竞赛，其中有一道关于黄金三角形的难题。
学堂的学子们凭借扎实的知识和灵活的思维，成功解答，为学堂赢得了荣誉。
戴浩文欣慰不已，学子们也充满了成就感，对未来的数学学习充满了信心。